Теория длинных линий

Как уже отмечалось, электромагнитная волна распространяется как в свободном пространстве, так и вдоль линии передачи. В последнем случае важным понятием является понятие длинной линии, т. е. линии, длина которой соизмерима или превышает длину волны (рис. 2.31а). Короткие отрезки линии ($l\leqslant{0{,}1\lambda}$) будем в дальнейшем рассматривать как элементы с сосредоточенными параметрами. Ввиду небольшого объема дайной книги авторы ограничиваются только рассмотрением основных свойств и теорем длинных линий. Более подробную информацию по данному вопросу читатель может найти в [2, 8, 13].

Рис. 2.31. Длинная линия.

Постоянный ток, протекающий в линии, создает стационарные магнитное поле Н и электрическое поле Е, структура которых показана на рис. 2.31б. При прохождении в линии переменного тока возникает электромагнитное поле, причем амплитуды Е и Н не только изменяются во времени, но и зависят от положения точки наблюдения относительно линии (рис. 2.31в).

Распределение тока и напряжения в длинной линии

Напряжение и ток в каждой точке длинной линии изменяются по синусоидальному закону. В начале линии (точка А на рис. 2.31а) изменение мгновенного значения напряжения $$\begin{equation}u=U_1\sin(\omega{t}+\varphi_0)\end{equation}\tag{2.78}$$ где U1 амплитуда напряжения; φ0 — начальная фаза при t=0.

В линии без потерь в точке, отстоящей от начала линии на расстояние х, изменение мгновенного значения напряжения $$\begin{equation}u(x)=U_1\sin(\omega{t}+kx+\varphi_0)\end{equation}\tag{2.79}$$

В линии с потерями, для которых амплитуда напряжения изменяется вдоль линии по закону $U_x=U_1\exp(-\alpha{x})$, изменение мгновенного значения напряжения $$\begin{equation}u(x)=U_x\sin(\omega{t}+kx+\varphi_0)=U_1\,{e^{-\alpha{x}}}\,\sin(\omega{t}+kx+\varphi_0)\end{equation}\tag{2.80}$$

Данная волна распространяется вдоль линии со скоростью, определяемой типом рассматриваемой линии. Волна, достигнув конца линии (точка В на рис. 2.31а), может либо полностью перейти в нагрузку, либо полностью или частично отразиться. В зависимости от направления распространения волны в линии принято говорить или о падающей волне (при ее движении от точки А к точке В) или об отраженной волне (при движении волны от В к А).

При полном отражении амплитуда отраженной волны Uотр равна амплитуде падающей волны Uпад. Отраженная волна, накладываясь на падающую, создает стоячую волну (рис. 2.32), распределение которой вдоль линии описывается формулой $$\begin{equation}u(x)=U_1\,\sin\omega{t}\sin{kx}\end{equation}\tag{2.81}$$

Для стоячей волны, у которой Uпад=Uотр, напряжение в точках пучности тока постоянно равно нулю, а в точках, отстоящих от них на расстояние λ/4, амплитуда напряжения изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда стоячей волны в 2 раза превышает амплитуду падающей волны. Картина изменения тока в рассматриваемой линии аналогична картине изменения напряжения, только сдвинута вдоль линии на расстояние λ/4.

Рис. 2.32. Временные диаграммы распределения стоячей волны.

Мощность, передаваемая такой линией, $P=UI\cos\varphi=UI\cos90^\circ$.

Полное отражение в линии возможно только в двух случаях: линия на конце разомкнута (Z2=∞); линия на конце коротко замкнута (Z2=0).

Если линия нагружена на сопротивление, равное ее волновому сопротивлению, вся электромагнитная энергия попадает в нагрузку и отраженная волна полностью отсутствует. В любом другом случае (при несовпадении сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линии) наблюдается отраженная волна, которая накладывается в линии иа падающую волну (рис. 2.33).

Рис. 2.33. Схема образования стоячей волны в линии.

На рис. 2 34а приведено распределение тока и напряжения вдоль разомкнутой на конце линии, а на рис. 2.34б — вдоль коротко замкнутой на конце линии. В разомкнутой линии (Z2=∞) в точке В наблюдается нулевой уровень тока и максимальный уровень напряжения. Сопротивление в этой точке $Z_2=\frac{U_2}{I_2}=\frac{U}{0}=\infty$.

Рис. 2.34. Распределение токов и напряжений в длинной линии.

На расстоянии, равном λ/4 от этой точки, ситуация обратная, т. е. напряжение равно нулю, а ток максимален. Это означает, что в этой точке сопротивление $Z_x=\frac{U}{I}=\frac{0}{I}=0$. Введение короткозамыкателя в этой точке не приведет к изменению распределения тока и напряжения в линии. Распределение тока и напряжения вдоль разомкнутой на конце линяя не изменится при укорочении или удлинении линия на nλ/2.

В общем случае сопротивление в точке питания А длинной линии А—В зависит как от длины линии, так и от характера нагрузки в точке В. В случае, когда длина линии равна $l=n\frac{\lambda}{2}$, сопротивление в точке А равно сопротивлению в точке В, т. е. Z1 = Z2.

В случае, когда длина линии $l=\frac{\lambda(2n+1)}{4}$, происходит трансформация сопротивления. Так, например, если Z2=∞ (линия разомкнута), то входное сопротивление Z1=0, и наоборот, если Z2=0 (линия коротко замкнута), то Z1=∞.

Еще раз подчеркнем, что входное сопротивление линии зависит как от характера нагрузки, так и от электрической длины линии, которая является функцией длины волны Так как с этими закономерностями приходится сталкиваться достаточно часто при проектировании линий питания и элементов фазирования антенных систем, авторы рекомендуют их тщательно изучить и запомнить. В какой-то мере читателю в этом помогут рис. 2.35 и 2.36, на которых представлен характер изменения входного сопротивления разомкнутой и коротко замкнутой линий при изменении их длины.

Рис. 2.35. Изменение величины и характера входного сопротивления разомкнутой длинной линии при изменении ее длины.

Входное сопротивление линии

В общем случае нагрузка линии может носить комплексный характер, т. е. $Z_2=R_2+iX_2$. Тогда входное сопротивление такой линии согласно [2] $$\begin{equation}Z_1=Z_0\frac{Z_2+iZ_0\tg{kl}}{Z_0+iZ_2\tg{kl}}\end{equation}\tag{2.82}$$

Формула (2.82) справедлива для линий без потерь.

Введем теперь отношение волнового сопротивления линии к сопротивлению нагрузки Z2 и обозначим эту величину через $$\begin{equation}s=\frac{Z_0}{Z_2}\end{equation}\tag{2.83а}$$

Формулой (2.83а) следует пользоваться, если $$|Z_0|\geqslant{|Z_2|}$$ Если же $$|Z_2\geqslant{|Z_0|}$$, то тогда $$\begin{equation}s=\frac{Z_2}{Z_0}\end{equation}\label{2.83б}$$

Теперь, используя введенное соотношение, формулу (2.82) можно записать в виде $$\begin{equation}Z_1=Z_0\,\frac{\cos{kl}+i\,s\sin{kl}}{s\cos{kl}+i\sin{kl}}\end{equation}\tag{2.84}$$

Рис. 2.36. Изменение величины и характер сопротивления короткозамкнутой длинной линии при изменении ее длины.

Из формулы (2.84) нетрудно выделить действительную и мнимую части, соответствующие R2 и X2 $$\begin{equation}R_1=\left|\frac{R_2\,Z_0^2}{Z_0^2\cos^2{kl}+R_2^2\sin^2kl}\right|\end{equation}\tag{2.85}$$ $$\begin{equation}X_1=\left|\frac{Z_0\,(Z_0^2-R_2^2)\sin{kl}\cos{kl}}{Z_0^2\cos^2kl+R_2^2\cos^2{kl}}\right|\end{equation}\tag{2.86}$$

Эти трудные на первый взгляд формулы достаточно просты для конкретных расчетов. Применим их на конкретном примере.

Пример. На рис. 2.37 приведена линия длиной l=2 м, имеющая волновое сопротивление Z0=300 Ом. Эта линия нагружена на последовательно включенные емкость С=20 пФ и сопротивление R2=200 Ом. Рассчитаем входное сопротивление Z1 этой линии для волны λ=10 м (f=30 МГц).

Рис. 2.37. Длинная линия, трансформирующая емкостную нагрузку в индуктивную.

Порядок расчета:

1. Сопротивление емкости $X_C=\frac{1}{\omega{C}}=\frac{1}{2\pi}\cdot{30}\cdot{10^6}\cdot{20}\cdot{10^{-12}}=265\;Ом$

2. Сопротивление нагрузки $Z_2=R_2-i\,X_C=(200-i\,265)\;Ом$.

3. Фазовый набег вдоль линии $kl=\frac{2\pi{l}}{\lambda}=360^\circ\cdot\frac{2}{10}=72^\circ$ или $kl=\frac{2\pi{l}}{\lambda}=\frac{2\pi\cdot{2}}{10}=0{,}4\pi=1{,}257\;рад$

4. Входное сопротивление линии, рассчитываемое по формуле (2.82), $Z_1=300\,\frac{(200-i\,265)+i\,300\,\tg72^\circ}{300+i\,(200-i\,265)\,\tg72^\circ}=(116{,}2+i\,113{,}1)\;Ом$

Таким образом, сопротивление нагрузки $Z_2=(200-i\,265)\;Ом$, обусловленное последовательно включенными емкостью и сопротивлением, трансформируется с помощью двухметровой линии, работающей на частоте 30 МГц, во входную нагрузку $Z_1=(116{,}2+i\,113{,}1)\;Ом$, которая соответствует последовательно включенным сопротивлению (другой величины) и индуктивности L. Поэтому на рис. 2.37 между рассчитываемой линией и ее эквивалентом был по ставлен знак тождества. Индуктивность, сопротивление которой на частоте 30 МГц составляет 113,1 Ом, $L=\frac{113{,}1}{2\pi}\cdot{30}\cdot{10^6}=0{,}602\;мкГн$.

Для облегчения расчетов величин XL и ХC можно воспользоваться номограммами, приведенными на рис. 2.38.

Особо рассмотрим один частный случай, вытекающий из общей формулы (2.82), а именно длина линии l=λ/4. В этом случае формула (2.82) значительно упрощается и принимает вид $$\begin{equation}Z_1=\frac{Z_0^2}{Z_2}\end{equation}\tag{2.87}$$

Эту формулу следует запомнить, так как она достаточно часто будет встречаться на практике. Сейчас применим эту формулу для конкретных примеров.

Пример 1. Требуется рассчитать входное сопротивление линии с волновым сопротивлением Z0=300 Ом, нагруженной на антенну с Z2=600 Ом, если длина линии l = λ/4. Получаем $Z_1=\frac{300^2}{605}=150\;Ом$.

Рис. 2.38. Номограмма для определения реактивных сопротивлений для некоторых длин волн.

Пример 2. Требуется рассчитать волновое сопротивление четвертьволновой линии, согласующей два коаксиальных кабеля с сопротивлениями Z1=50 Ом и Z2=75 Ом. Расчет проведем по формуле $Z_0=\sqrt{Z_1Z_2}$.Подставляя в эту формулу исходные значения, получим, что Z0=61,2 Ом.

При проведении подобных расчетов удобно пользоваться номограммой, приведенной на рис. 2.39.

Рис. 2.39. Номограмма для определения волнового сопротивления четвертьволнового трансформатора .

Нагруженные длинные линии могут быть рассмотрены как резонансные контура. Характер изменения нагрузки в таком контуре при изменении длины линии приведен на рис. 2.36. Резонанс в линии наступает, если длина линии l = nλ/4. Для других длин, отличных от nλ/4, линия представляет собой или индуктивность, или емкость.

Рис. 2.40. Зависимость реактивного сопротивления линии от ее длины.

Если длина короткозамкнутой на конце линии l < λ/4, то ее сопротивление носит индуктивный характер и определяется по формуле $$\begin{equation}X_L=Z_0\tg{kl}\end{equation}\tag{2.88}$$

В частном случае при l = λ/8 имеем: $kl\approx\frac{\pi}{4}=45^\circ$ и $\tg{kl}=l$. Следовательно, XL=Z0. Другими словами, короткозамкнутая линия длиной l = λ/8 является индуктивностью, значение которой $L=\frac{Z_0}{\omega}$.

Если длина разомкнутой линии l < λ/4, то ее сопротивление носит емкостный характер и определяется по формуле $$\begin{equation}X_C=Z_0\tg{kl}\end{equation}\tag{2.89}$$

В частном случае, когда l = λ/8, линия представляет собой емкость, значение которой $C=\frac{1}{\omega{Z_0}}$.

В согласующих устройствах отрезки длинной линии часто используются в качестве индуктивности или емкости. Для удобства расчета можно пользоваться графиками, приведенными на рис. 2.40.

Пример. Требуется найти входное сопротивление короткозамкнутой линии длиной l=15 см, имеющей коэффициент укорочения K=0,905 и волновое сопротивление Z0=300 Ом для длины волны λ=2 м (150 МГц).

Порядок расчета.

1. Электрическая длина линии определяется по формуле (2.12): lэ=l/K=15/0,905=16,6 см=0,166 м.

2. Фазовый сдвиг вдоль линии определяется по формуле (2.14): kl=2πl/λ=2π·0,166/2=0,52 рад или kl=2πl/λ=360°·0,083=29,9°.

3. Сопротивление XL=Z0 tg 29,9°=300·0,577= 173 Ом.

4. Индуктивность Z = XL/ω= 173/2π·150·106=0,183 мкГн.

5. Та же самая линия, только разомкнутая, имеет сопротивление XC=Z0ctg 29,9°=300·1,73=520 Ом, что эквивалентно емкости С=1/ωХC=2,04 пф.

При проведении подобных расчетов удобно пользоваться графиками, приведенными на рис. 2.40.Так, например, для фазового сдвига kl=30° по графикам на рис. 2.40 определяем, что XL/Z0=0,57 и XC/Z0=1,75. Следовательно, XL=300·0,57=171 Ом и XC=300·1,75=525 Ом. Тогда, пользуясь графиками, приведенными на рис. 2.38, находим, что L=0,19 мкГн и С=2,1 пФ. Эти результаты отличаются (с малой погрешностью) от приведенных расчетных данных. Однако полученная точность определения параметров L и С является достаточной для целей практики.

Отметим еще одно обстоятельство, вытекающее из ранее приведенных рассуждений о различном характере разомкнутой и замкнутой линий. Речь идет о способе измерения волнового сопротивления линии. Для этого достаточно определить эквивалентные индуктивности и емкости при короткозамкнутой и разомкнутой линиях. Эти измерения, как известно, провести нетрудно. Тогда, зная значения измеренных L и С, можно вычислить волновое сопротивление линии: $$\begin{equation}Z_0=\sqrt{X_LX_C}=\sqrt{\frac{L}{C}}\end{equation}\tag{2.90}$$

В реальных линиях всегда присутствуют потери. Это обстоятельство, как было показано ранее [см. формулу (2.35)], приводит к изменению значения волнового сопротивления линии. Кроме того, наличие потерь приводит к изменению характера распределения вдоль линии падающей, а также отраженной волны. На рис. 2.41 показано влияние затухания на характер распределения напряжения вдоль длинной линии.

Рис. 2.41. Распределение напряжения и мощности падающей и отраженной волн в линии с потерями.

Длинная линия как резонансный контур

В диапазоне УКВ длинная линия может быть использована в качестве резонансного контура. Добротность такого контура (при малом уровне потерь) [19] $$\begin{equation}Q=\frac{2\pi{fZ_0}}{R}=\frac{k}{2\alpha}\end{equation}\tag{2.91}$$ где k — волновое число; α — затухание.

Для коаксиальной линии, как это было показано ранее, минимальные потери соответствуют условию D/d=3,6, т. е. волновому сопротивлению Z0=77 Ом. На рис. 2.42 приведены графики добротности как функции внешнего диаметра коаксиального кабеля и частоты. Эти графики построены для коаксиальной линии, выполненной из меди и имеющей воздушную изоляцию.

Рис. 2.42. Зависимость добротности четвертьволновой медной коаксиальной линии с воздушным заполнением от частоты.

Целесообразно обратить внимание на следующую информацию:

1. Входное сопротивление четвертьволновой линии без потерь или линии, длина которой кратна (2n+1)λ/4, имеет следующие значения: для короткозамкнутой Z1=∞ (параллельный резонансный контур), для разомкнутой Z1=0 (последовательный резонансный контур).

2. Для линии с потерями входное сопротивление четвертьволновой линии определяется по следующим формулам: для последовательного резонансного контура $$\begin{equation}Z_1=Z_0(2n+1)\frac{\pi}{4}Q\approx{Z_0\alpha{l}}\end{equation}\tag{2.92}$$ для параллельного резонансного контура $$\begin{equation}Z_1=\frac{4\,Z_0Q}{2n+1}\pi\approx\frac{Z_0}{\alpha{l}}\end{equation}\tag{2.93}$$

3. Частотная характеристика четвертьволновой линии вблизи резонансной частоты очень похожа на обычную частотную зависимость при резонансе контура с добротностью Q. Однако следует иметь в виду, что входное сопротивление длинной линии в этой области изменяется несколько иным образом, чем сопротивление резонансного контура, образованного сосредоточенными индуктивностью и емкостью.

При небольшом отклонении частоты Δf от резонансной частоты fрез появляется дополнительный фазовый сдвиг $$\begin{equation}\delta=\frac{(2n+1)\pi}{4}-\frac{2\pi\Delta{f}l}{C}\end{equation}\tag{2.94}$$

Изменение входного сопротивления при небольшом отклонении частоты Δf от резонансной зависит как от длины линии l и ее затухания α, так и от дополнительного фазового сдвига δ. Для последовательного резонансного контура входное сопротивление $$\begin{equation}Z_{вх}\approx{Z_0}\sqrt{(\alpha{l})^2+\delta^2}=\alpha{l}Z_0\sqrt{1+\left(\frac{\delta}{\alpha{l}}\right)^2}\end{equation}\tag{2.95}$$ для параллельного резонансного контура $$\begin{equation}Z_{вх}\approx{Z_0}\left[(\alpha{l})^2+\delta^2\right]^{-\frac{1}{2}}=\frac{Z_0}{\alpha{l}\sqrt{1+\left(\frac{\delta}{\alpha{l}}\right)^2}}\end{equation}\tag{2.96}$$

Из анализа этих формул следует, что при условии $\alpha{l}=\delta$ входное сопротивление линии, соответствующее последовательному резонансному контуру, в 1,4 раза больше, чем значение Z1, рассчитанное по формуле (2.92). Более полную информацию по данному вопросу можно найти в [19, 20].